Kinematik

Modelle und Grundgrößen

Notwendigkeit des Arbeitens mit Modellen:

  • Vereinfachung der Realität
  • Mittel zur Veranschaulichung
  • Mittel zum Aufstellen, zum Weiterentwickeln und zum Anwenden einer Theorie
  • Möglichkeit der Berechnung

Modell Massepunkt:

  • Form und Volumen werden vernachlässigt
  • Masse in einem Punkt konzentriert (mit dem Punkt wird der Ort betrachtet)

Relativität der Bewegung:

  • Die Bewegung eines Körpers ist die Veränderung seines Ortes zu einem Bezugskörper
  • Ein Körper ist in Ruhe, wenn er seinen Ort gegenüber einem Bezugskörper nicht ändert.

Grundgrößen:

Geschwindigkeit:

Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper bewegt.
Formelzeichen: v
Einheit: 1
m/s
=3,6
km/h




Unterscheidung der Bewegung nach:
Betrag der Geschwindigkeit:
v = konstant
gleichförmige Bewegung		 v = veränderlich
ungleichförmige Bewegung

Richtung der Geschwindigkeit:
geradlinige Bewegung krummlinige Bewegung

Gleichung der Momentangeschwindigkeit:
v =
Δs/Δt
=
s2-s1/t2-t1
        mit Δt gegen 0

Entgegengesetzte Bewegungen werden in einem Bezugssystem durch verschiedene Vorzeichen beschrieben.
genauer: v =
limΔ t→0
Δs/Δt
=
ds/dt

Geschwindigkeit als Anstieg im s(t)-Diagramm

Beschleunigung

Die Beschleunigung einer Bewegung ist die Geschwindigkeitsänderung Δv in dem Zeitintervall Δt
Formelzeichen: a
Einheit:
m/s2

Gleichung: a =
Δv/Δt
=
v2-s1/t2-t1
        mit Δt gegen 0
Das Vorzeichen gibt wieder die Richtung der Änderung an.

Gleichförmige Bewegung

v = konstant
Gleichung: v =
Δs/t

Diagramme:
s(t)-Diagramm v(t)-Diagramm
Die Geschwindigkeit entspricht dem Anstieg im s(t)-Diagramm Die Fläche unter der Kurve im v(t)-Diagramm entspricht dem zurückgelegten Weg

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

a = konstant
Weg-Zeit-Gesetz: s(t) =
a/s
·t2+v0·t+s0
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: v(t) = a·t+v0

Betrachtung der Beschleunigung:


Vorgang Geschwindigkeit Beschleunigung
Anfahren vA < vE positiv
gleichförmige Bewegung vA = vE a = 0
Bremsen vA > vE negativ

Freier Fall:

Bedingungen:

  • ohne Luftwiderstand
  • v0 = 0
Weg-Zeit-Gesetz: s(t) =
1/2
·g·t2
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: v(t) = g·t

Krummlinige Bewegung

Kreisbewegung:


Modell Massepunkt
Jede Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung
gleichförmige Kreisbewegung
1 Umlauf ⇒ Weg = Kreisumfang
Zeit = Umlaufzeit T
v =
2·π·r/T

Kraft in Richtung Zentrum ⇒ Radialkraft (oder Zentripetalkraft)
F = m·ar = m·
v2/r
= m·
4·π2·r/T2

Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit):

Formelzeichen: ω
Einheit: s-1
Gleichung: ω =
2·π/T
=2·π·f = 2·π·n
f... Frequenz in Hz
n... Drehzahl
Es folgt v = ω·r      und      Fr = m·ω2·r

Analogie Translation Rotation
  Weg s
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Newton'sches GG F = m·a
Energie Ekin = 0,5·m·v2		 Drehwinkel φ
Winkelgeschwindigkeit ω
Winkelbeschleunigung
M→ = r→× F→     M... Drehmoment
Erot = 0,5·J·ω2     J... Trägheitsmoment

Unabhängigkeitsprinzip:

Führt ein Körper mehrere Bewegungen in verschiedene Richtungen aus, so beeinflussen sich die Teilbewegungen gegenseitig nicht.Die Gesamtbewegung ergibt sich aus der vektoriellen Addition der Einzelbewegungen.

schräger Wurf:

Überlagerung zweier Bewegungen:
  • x-Richtung gleichförmige Bewegung
  • y-Richtung freier Fall
ax = 0
ay = -g
vx = v0·cos α = konstant
vy = -g·t+v0·sin α

x = v0·cos α·t
y = -0,5·g·t2+v0·sin α·t+h