Mechanik

Entwicklung der Mechanik

  • ältester Zweig der Physik
  • Kinematik ⇒ Bewegung
  • Dynamik ⇒ Kraft
  • Statik ⇒ Gleichgewicht
  • Antike: Mechanik = Kunst die Natur zu überlisten
  • mit Newton ⇒ Beginn Entwicklung Mechanik zur physikalischen Disziplin
  • Newton: mit der Aufstellung seiner Axiome schuf er Grundlagen der Dynamik des Massenpunktes

Energieerhaltungssatz

Entwicklung Energiebegriff

Perpetuum mobile: Maschine, die nach einmaliger Energiezufuhr fortwährend mechanische Arbeit verrichtet.

Energie

=ist die Fähigkeit, mechanische Arbeit zu verrichten, Wärme abzugeben oder Strahlung auszusenden
Formelzeichen: E
Einheit: 1J = 1Nm = 1Ws



Zustandsgrößen Prozessgrößen Wechselwirkungsgröße
  • Energie
  • Temperatur
  • Druck
  • Volumen
  • Arbeit
  • Temperaturdifferenz
  • Wärme
  • Kraft



Energieerhaltungssatz (qualitativ)

  • Mayer: Energie kann nicht verschwinden oder neu entstehen
  • Helmholtz: Energie kann nicht verschwinden oder neu entstehen. Energie kann immer nur von einer Energieform in eine andere umgewandelt werden oder von einem Körper auf einen anderen übertragen werden.
⇒ Unmöglichkeit des Perpetuum mobile 1. Art

Mechanische Arbeit

... wird verrichtet, wenn durch eine Kraft ein Körper bewegt oder verformt wird.
Formelzeichen: W
Einheit: 1Nm = 1J
Gleichungen:
W = F·s     ⇒ F = konstant; F∥s
W = F·s·cos α     ⇒ F = konstant; ∠(F;s) ≠ 0
W = 0,5·F·s     ⇒ F ≠ konstant; F∥s

allgemein: Die Fläche unter der Kurve im F(s)-Diagramm ist ein Maß für die verrichtete Arbeit.

Energieänderung = verrichteter Arbeit
ΔE = W
potenzielle Energie (Lageenergie)
Epot = m·g·h		 Hubarbeit
W = m·g·h
kinetische Energie (Bewegungsenergie)
Ekin = 0,5·m·v2     (Bedingung: v0 = 0)
allgemein: Ekin = 0,5·m·(v22-v12)		 Beschleunigungsarbeit
W = m·a·s
potenzielle Energie (Spannenergie)
Epot = 0,5·D·s2     (Bedingung: s0 = 0)		 Spannarbeit
W = 0,5·D·s2
thermische Energie durch Reibung
Eth = μ·FN·s		 Reibungsarbeit
W = μ·FN·s

Energieerhaltungssatz (quantitativ)

System Masse Energie
offenes System Transport Transport
geschlossenes System kein Transport Transport
abgeschlossenes System kein Transport kein Transport

abgeschlossenes System: Angabe der Körper, die in Betracht kommen; zu einem System zusammengefasst.

reibungsfreies System System mit Reibung
Summe der mechanischen Energien ist konstant Summe der mechanischen Energien und der thermischen Energie ist konstant
Epot + Ekin = konstant Epot + Ekin + Eth = konstant

Reibung

  • bewegungshemmender Vorgang
  • Reibungskraft wirkt Bewegungsrichtung entgegen
  • Umwandlung mechanischer Energie in thermische Energie
  • dabei wird Arbeit verrichtet
  • Haftreibung ⇒ Gleitreibung ⇒ Rollreibung
    • W = FR·s = μ·FN·s
    μ... Reibungszahl
    FN... Normalkraft (Kraft senkrecht zur Unterlage)
    s... zurückgelegter Weg

geneigte Ebene:

WR = μ·FG·s·cos α
WR = μ·m·g·s·cos α

Luftreibung

FR = 0,5·cw·ρ·A·v2
cw... Luftwiderstandsbeiwert
ρ... Dichte der Luft
A... Querschnittsfläche
v... Geschwindigkeit

Luftwiderstandsbeiwerte:

Tropfen: 0,1
Kugel: 0,4
Kreisscheibe: 1,1

Mechanische Leistung

Formelzeichen: P
Einheit: 1W = 1
J/s

Berechnung: P =
ΔE/Δt
=F·
Δs/Δt
=F·v
ungleichmäßige Energieumsetzung:
ΔE/Δt
=P–
Momentanleistung: P(t) =
limΔ t→0
ΔE/Δt
= E(t)
Zusammenhang zwischen Leistung und Übertragungsgeschwindigkeit:
  • Bewegung eines Körpers mit konstanter Kraft
  • Arbeit: W = F·s
  • Energieänderung ΔE gleich verrichteter Arbeit W
    • P =
    ΔE/Δt
    =F·
    Δs/Δt
    =F·v
    Bedingung: gleichförmige Bewegung

Wirkungsgrad η

... gibt an, welcher Anteil der aufgewandten Energie in nutzbare Energie umgewandelt wurde.
... ist ein Maß für die Entwertung mechanischer Energie



η =
Enutzbar/Eaufgebracht
=
Pnutzbar/Paufgebracht

Der Impuls

Alltag: Wucht, Schwung
Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Der Impuls ist eine vektorielle Größe.
Formelzeichen: p
Gleichung: p = m·v       bzw.       p→ =m·v→
Einheit: 1
kg·m/s
= 1Ns

Allgemeines Newton'sches Grundgesetz:

F = m·a = m·
Δv/Δt
=
m·Δv/Δt
=
Δ(m·v)/Δt
=
Δp/Δt

(F·Δt = Δp = S... Kraftstoß)

Impuls ist eine Erhaltungsgröße

Der Impulserhaltungssatz

In einem abgeschlossenem System bleibt die (vektorielle) Summer aller Impulse gleich.
pA1 + pA2 + pA3 + ... = pB1 + pB2 + pB3 + ...

Stoßvorgänge

gerader zentraler Stoß
 gerader dezentraler Stoß
Beschränkung auf gerade zentrale Stoßvorgänge

unelastisch völlig elastisch
  • Impulserhaltungssatz gilt
  • Energieerhaltungssatz(der Mechanik) gilt nicht
  • Impulserhaltungssatz gilt
  • Energieerhaltungssatz gilt

Unelastischer Stoß

Impulserhaltungssatz: m1·v1 + m2·v2 = (m1 + m2)·u
u =
m1·v1 + m2·v2/m1 + m2

Beachte: entgegengesetzte Geschwindigkeiten haben unterschiedliche Vorzeichen

Energiebilanz: Ekin1 + Ekin2 > EkinEnde

Elastischer Stoß

Zweikörperproblem; gesucht sind Geschwindigkeit u1 und u2 nach dem Stoß

EES: Ekin1vor + Ekin2vor = Ekin1nach + Ekin2nach
    (I) 0,5·m1·v12 + 0,5·m2·v22 = 0,5·m1·u12+0,5·m2·u22
IES: p1vor + p2vor = p1nach + p2nach
  (II) m1·v1 + m2·v2 = m1·u1 + m2·u2

Sortieren nach den Körpern:
 (I') m1·v12 - m1·u12 =m2·u22 - m2·v22
       m1·(v12-u12) =m2·(u22-v22)       ⇒ 3. Binomische Formel
(II') m1·v1 - m1·u1 = m2·u2 - m2·v2
       m1·(v1-u1) =m2·(u2-v2)              ⇒ 3. Binomische Formel
 (I'') m1·(v1+u1)·(v1-u1) =m2·(u2+v2)·(u2-v2)

Division von (I'') durch (II'):
v1 + u1 = u2 + v2
Summe der Geschwindigkeiten eines Körpers gleich der Summer der Geschwindigkeiten des anderen.

Ziel: u1 berechnen
u2 = v1 + u1 - v2 in (II') einsetzen
m1·v1 - m1·u1 =m2·(v1 + u1 - v2) - m2·v2
m1·v1 - m1·u1 =m2·v1 + m2·u1 - m2·v2 - m2·v2
m1·v1 - m2·v1 + 2·m2·v2 =m1·u1 + m2·u1
(m1 - m2)·v1 + 2·m2·v2 = (m1 + m2)·u1

⇒ u1 =
(m1 - m2)·v1 + 2·m2·v2 /m1 + m2