Wellen

Mechanische Wellen

Definition:

Eine (mechanische) Welle ist die Ausbreitung einer (mechanischen) Schwingung im Raum, wobei Energie und Impuls transportiertwird, aber kein Stoff.

Voraussetzungen:

  • schwingungsfähige Teilchen
  • Kopplungskräfte

periodische Welle:

  • zeitlich und räumlich periodischer Vorgang
  • Frequenz kennzeichnet zeitliche Periodizität
  • Wellenlänge kennzeichnet räumliche Periodizität

harmonische Welle:

  • harmonische Schwingung erzeugt Welle
  • räumliche Ausbreitung lässt sich durch Sinusfunktion darstellen
  • Gleichung: y(x, t) = ymax·sin (2π [
    t/T
    -
    x/λ
    ])

Größen zur Beschreibung:


y(t)-Diagramm y(s)-Diagramm
s = konstant t = konstant

Periodendauer T in s Zeit für eine Schwingung
Frequenz f in Hz Kehrwert der Periodendauer
Amplitude ymax in m maximale Auslenkung
Auslenkung y in m Auslenkung zum Zeitpunkt t
Wellenlänge λ in m Abstand zweier benachbarter Wellenberge
Ausbreitungsgeschwindigkeit v in
m/s
 Geschwindigkeit mit der sich die Welle bewegt
  • Wellen breiten sich gleichförmig aus
  • für die Zeit t = T hat sich die Welle um den Weg s = λ weiterbewegt, also folgt:
    • v =
    λ/T
    = λ·f

Wellenarten:

  1. Transversalwelle (Querwelle): Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Bsp. Wasserwelle)
  2. Longitudinalwelle (Längswelle): Schwingung parallel zur Ausbreitungsrichtung (Bsp. Schallwelle)

Welleneigenschaften:


Huygenssches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer (frequenz- und phasengleichen) (kreisförmigen) Elementarwelle.
Die Einhüllende bildet eine neue Wellenfront.


Reflexion:
  • Zurückwerfen einer Welle an einen Hindernis = Umkehr des Energieflusses
  • Reflexionsgesetz gilt
  • alle entsprechenden Winkel in Dreiecken sind kongruent
  • Winkel deren Schenkel senkrecht aufeinander stehen sind gleich groß
  • ⇒ Einfallswinkel = Reflexionswinkel
Brechung:
Änderung der Ausbreitungsrichtung bei der Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit an eine Grenzfläche

Beugung:
Ausbreitung einer Welle in den Schattenraum eines Hindernisses

Interferenz:
  • Überlagerung von Wellen, wobei Gebiete der Verstärkung und Schwächung entstehen
  • Superpositionsprinzip: ungestörte Überlagerung
  • Verstärkung: Wellenberg + Wellenberg oder Tal + Tal
  • Schwächung: Wellenberg + Wellental
  • Auslöschung: gleiche Amplitude
  • Gegenunterschied für Verstärkung: Δs = k·λ ⇒ Maximum k-ter Ordnung
  • Gegenunterschied für Auslöschung: Δs = (2k+1)·
    λ/2
    ⇒ Minimum
Reflexion von Schallwellen:
Treffen Wellen auf eine Grenzfläche, so werden sie dort reflektiert.
Bei einem festen Ende wird ein Berg als Tal und ein Tal als Berg reflektiert. Bei einem losen Ende wird ein Berg als Berg und ein Tal als Tal reflektiert.

stehende Wellen:
Bei der Überlagerung gleicher, gegenläufiger Wellen ergeben sich stehende Wellen mit Knoten und Bäuchen.
Bei gleichartigen Reflexionen gilt: λ =
2L/k
mit k = 1, 2, 3, ...
Bei verschiedenartigen Reflexionen gilt: λ =
4L/(2k-1)
mit k = 1, 2, 3, ...

Hertzsche Wellen

  • geschlossener Schwingkreis ⇒ offener Schwingkreis
  • Ausbreitung einer elektromagnetischen Schwingung im Raum
  • Ausbreitungseigenschaften bleiben erhalten
    • geradlinig, allseitige Ausbreitung in einem Medium mit Lichtgeschwindigkeit
    • es gilt c = λ·f und gleichförmige Bewegung
    • Durchdringung von Isolatoren
    • Reflexion an Metallen
    • Brechung, Beugung, Interferenz
  • Durchdringungsfähigkeit und Reflexionsvermögen sind je nach Wellenlänge unterschiedlich stark ausgeprägt
  • Hertzsche Wellen sind Transversalwellen
  • sind polarisiert (besitzen eine Schwingungsrichtung)

Informationsübertragung:


Amplitudenmodulation:
Veränderung der Amplitude der zu übertragenden niederfrequenten Schallschwingung

Frequenzmodulation:
Veränderung der hochfrequenten Schwingung im Rhythmus der niederfrequenten Schwingung

Demodulation:
Trennung von niederfrequenten elektromagnetischen Schwingungen von der hochfrequenten Trägerschwingung

Abstimmkreis:
Einstellung der Resonanzfrequenz durch Änderung der Kapazität

Licht als Welle

Modell Lichtstrahl Lichtwelle Lichtteilchen
Bild
erklärbar
  • geradlinig, allseitige Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit
  • Reflexion
  • Brechung
  • Schattenbildung
  • Reflexion
  • Brechung
  • Beugung
  • Interferenz
  • Polarisation
  • Reflexion
  • Brechung
  • Photoeffekt
Grenzen
  • Farbzerlegung
  • Interferenz
  • Photoeffekt
  • Schattenbildung
Eignung eignet sich zur Beschreibung des Wegs, den Licht zurücklegt eignet sich zur Erklärung von Beugung und Interferenz eignet sich zur Erklärung des Fotoeffekts
Aussage Keine Aussage zur Natur des Lichts Licht hat Wellencharakter Licht hat Teilchencharakter

Notwendigkeit Arbeit mit Modellen:
  • Vereinfachung der Realität
  • Mittel zur Veranschaulichung
  • Mittel zum Aufstellen, zum Weiterentwickeln und zum Anwenden einer Theorie
  • Möglichkeit der Berechnung
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit:
  1. Däne Olaf Römer 1676 mit Jupitermond Io; c = 228 000
    km/h
  2. Versuch von Fizeau:
Reflexionsgesetz:
Lichtstrahl entspricht Wellennormale
Trifft Licht auf einen Körper, so wird es reflektiert.
Einfallswinkel α und Reflexionswinkel α' sind gleich groß ⇒ α = α'
Einfallender Strahl, Einfallslot und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene.

Brechungsgesetz:
Trifft Licht unter einem Einfallswinkel α ≠ 0° von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium über, sowird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen. Trifft Licht unter einem Einfallswinkel α ≠ 0° von einem optischdichteren in ein optisch dünneres Medium über, so wird der Lichtstrahl vom Lot weg gebrochen.
sin α/sin β
=
c1/c2
=
n2/n1

n... Brechzahl der Stoffkombination
Brechzahl n: Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit in Vakuum zur Lichtgeschwindigkeit im Stoff
n =
cVakuum/cStoff

Totalreflexion:
Totalreflexion tritt ein, wenn Licht aus einem optisch dichteren Medium kommend auf die Grenzfläche zu einem optisch dünnerenMedium trifft und der Einfallswinkel größer als der Grenzwinkel αG ist.
sin β = 1
sin αG =
c1/c2
=
n2/n1

Herleitung der Linsengleichung


Abbildungsmaßstab:
B/G
=
b/g

b... Bildweite
g... Gegenstandsweite
B... Bildgröße
G... Gegenstandsgröße
f... Brennweite
Gleichsetzen: (1) = (2) ⇒
b/g
=
b-f/f

b/g
=
b/f
- 1 |:b
1/g
=
1/f
-
1/b
|+
1/b

Linsengleichung:
1/f
=
1/g
+
1/b


Grenzen des Modells Lichtstrahl


Dispersion:

Die einzelnen Farbanteile des weißen Lichtes werden unterschiedlich stark gebrochen. Violett wird stärker gebrochen als rot.

Beugung:

Ausbreitung einer Welle in den Schattenraum von Hindernissen

Interferenz:

  • Überlagerung von Wellen, wobei Gebiete der Verstärkung bzw. der Auslöschung entstehen
  • Verstärkung: Wellenberg + Wellenberg oder Wellental + Wellental
  • Auslöschung: Wellenberg + Wellental

es gilt: gleichförmige Bewegung c =
s/t

und es müsste gelten: c = λ·f
⇒ Problem: Wellenlängen

Interferenzen an dünnen Schichten:

  • Licht trifft auf dünne Schicht (z.B. Seifenblase) ⇒ 10% wird reflektiert ⇒ Licht trifft auf 2. Grenzfläche der Schicht ⇒ wieder 10% werden reflektiert ⇒ usw.
  • an Vorderseite reflektiertes Licht wird von Licht welches aus Wasser/ Seifenblase zurückkommt überlagert ⇒ hat bei senkrechtem Auftreffen einen um Δs = 2d längeren Weg zurückgelegt
  • selber Wegunterschied hat auch durchgehende Welle gegenüber dem im Wasser doppelt reflektierten Anteil ⇒ Interferenzen
Trifft Licht senkrecht auf eine dünne Schicht eines optisch dichteren Stoffes so zeigen sich im reflektierten Licht:
Minima: Δs = 2d = k·λs
Maxima: Δs = 2d =
1/2
(2k+1)·λs
Phasensprung bei Reflexion am optisch dichten Medium:
λ/2

d... Abstand zwischen den Schichten
im reflektierten Licht: im gebrochenen Licht:
Minimum: Δs = 2dn+
λ/2

d =
2k·λ/4n
 Minimum: Δs = 2dn
d =
(2k+1)·λ/4n